Urnenmodell

Quelle: moderndive.com

Stichprobenziehung

Ergebnis einer Stichprobe

Ergebnis mehrerer Stichproben

Datensatz zum physischen Experiment

• insgesamt 33 Gruppen und damit 33 Stichprobenziehungen

library(moderndive)
tactile_prop_red

## # A tibble: 33 × 4
##    group            replicate red_balls prop_red
##    <chr>                <int>     <int>    <dbl>
##  1 Ilyas, Yohan             1        21     0.42
##  2 Morgan, Terrance         2        17     0.34
##  3 Martin, Thomas           3        21     0.42
##  4 Clark, Frank             4        21     0.42
##  5 Riddhi, Karina           5        18     0.36
##  6 Andrew, Tyler            6        19     0.38
##  7 Julia                    7        19     0.38
##  8 Rachel, Lauren           8        11     0.22
##  9 Daniel, Caroline         9        15     0.3 
## 10 Josh, Maeve             10        17     0.34
## # ℹ 23 more rows

Stichprobenverteilung des physischen Experiments

library(tidyverse)
ggplot(tactile_prop_red, aes(x = prop_red)) +
  geom_histogram(binwidth = 0.05, boundary = 0.4,
                 color = "white") +
  scale_y_continuous(limits = c(0, 10), breaks = c(0:10)) +
  labs(x = "Anteil roter Kugeln aus insgesamt 50 (roten und weißen) Kugeln",
       y="Anzahl",
       title = "Verteilung von 33 Anteilswerten roter Kugeln")

Wahre Verteilung

Daten

bowl

## # A tibble: 2,400 × 2
##    ball_ID color
##      <int> <chr>
##  1       1 white
##  2       2 white
##  3       3 white
##  4       4 red  
##  5       5 white
##  6       6 white
##  7       7 red  
##  8       8 white
##  9       9 red  
## 10      10 white
## # ℹ 2,390 more rows

Anzahl und Anteil roter Kugeln

red_true <- bowl %>%
               summarize(Anzahl_rot = sum(color == "red"),
                     Anteil_rot = sum(color == "red")/length(color)
            )
red_true  %>%
    mutate(Anteil_rot=paste0(Anteil_rot*100,"%"))

## # A tibble: 1 × 2
##   Anzahl_rot Anteil_rot
##        <int> <chr>     
## 1        900 37.5%

(Virtuelles) Re-Sampling und Punktschätzung

• Ziehung aus der Grundgesamtheit (Urne)

• Unterschiedliche Stichprobenumfänge (“Schaufelgrößen”)

• Statt einmaliger Ziehung einer Stichprobe: Wiederholte Ziehung (Re-Sampling)

• Im folgenden Ziehung von jeweils 1000 Stichproben unterschiedlicher Stichprobenumfänge

  • n=25 (kleine Schaufel)
  • n=50 (mittlere Schaufel)
  • n=100 (große Schaufel)

“Kleine Schaufel” (Stichprobengröße n = 25)

• 1000 Ziehungen mit der kleinen Schaufel

• Jede Ziehung erfolgt aus der Urne (Grundgesamtheit)!

# set.seed für reproduzierbare Ergebnisse
set.seed(23) #why 23? see
n <- 25
rep <- 1000
virtual_samples_25 <- bowl %>%  #Ziehung aus der Urne (Grundgesamtheit)
                        rep_sample_n(size = n,
                                     reps = rep)
virtual_samples_25

## # A tibble: 25,000 × 3
## # Groups:   replicate [1,000]
##    replicate ball_ID color
##        <int>   <int> <chr>
##  1         1     925 red  
##  2         1    2332 white
##  3         1    1272 white
##  4         1    1523 red  
##  5         1     456 white
##  6         1    1707 white
##  7         1    1837 white
##  8         1     913 white
##  9         1    1015 white
## 10         1     149 red  
## # ℹ 24,990 more rows

• “Auszählen” der roten Kugeln für jede der 1000 Ziehungen als Punktschätzung \((\hat{p})\) des Anteils roter Kugeln

virtual_prop_red_25 <- virtual_samples_25 %>%
                              group_by(replicate) %>%
                              summarize(red = sum(color == "red")) %>%
                              mutate(prop_red = red / n)
virtual_prop_red_25

## # A tibble: 1,000 × 3
##    replicate   red prop_red
##        <int> <int>    <dbl>
##  1         1    10     0.4 
##  2         2     9     0.36
##  3         3     6     0.24
##  4         4     3     0.12
##  5         5    11     0.44
##  6         6     8     0.32
##  7         7     8     0.32
##  8         8    11     0.44
##  9         9     8     0.32
## 10        10    11     0.44
## # ℹ 990 more rows

• Dataviz der Stichprobenverteilung (englisch: Sampling Distribution)

virtual_prop_red_25 %>% 
  ggplot(aes(x = prop_red)) +
      geom_histogram(binwidth = 0.05, boundary = 0.4, color = "white") +
      labs(x = paste0("Anteil roter Kugeln (aus ",n,")"),
           title = paste0("Kleine Schaufel (n=",n,")")) +
      geom_vline(xintercept = red_true$Anteil_rot,color='red')

“Mittlere Schaufel” (Stichprobengröße n = 50)

• 1000 Ziehungen mit der mittleren Schaufel

• Jede Ziehung erfolgt aus der Urne (Grundgesamtheit)!

set.seed(23)
n <- 50
virtual_samples_50 <- bowl %>%  # Ziehung aus der Urne (Grundgesamtheit)
                         rep_sample_n(size = n,
                                      reps = rep)

• “Auszählen” der roten Kugeln für jede der 1000 Ziehungen als Punktschätzung \((\hat{p})\) des Anteils roter Kugeln

virtual_prop_red_50 <- virtual_samples_50 %>%
                              group_by(replicate) %>%
                              summarize(red = sum(color == "red")) %>%
                              mutate(prop_red = red / n)
virtual_prop_red_50

## # A tibble: 1,000 × 3
##    replicate   red prop_red
##        <int> <int>    <dbl>
##  1         1    20     0.4 
##  2         2    10     0.2 
##  3         3    18     0.36
##  4         4    19     0.38
##  5         5    18     0.36
##  6         6    18     0.36
##  7         7    18     0.36
##  8         8    16     0.32
##  9         9    25     0.5 
## 10        10    19     0.38
## # ℹ 990 more rows

• Dataviz der Stichprobenverteilung (Sampling Distribution)

virtual_prop_red_50 %>% 
  ggplot(aes(x = prop_red)) +
      geom_histogram(binwidth = 0.05, boundary = 0.4, color = "white") +
      labs(x = paste0("Anteil roter Kugeln (aus ",n,")"),
           title = paste0("Kleine Schaufel (n=",n,")")) +
      geom_vline(xintercept = red_true$Anteil_rot,color='red')

“Große Schaufel” (Stichprobengröße n = 100)

• 1000 Ziehungen mit der großen Schaufel

• Jede Ziehung erfolgt aus der Urne (Grundgesamtheit)!

set.seed(23)
n<-100
virtual_samples_100 <- bowl %>%  # Ziehung aus der Urne (Grundgesamtheit)
                          rep_sample_n(size = n,
                                       reps = rep)
virtual_samples_100

## # A tibble: 100,000 × 3
## # Groups:   replicate [1,000]
##    replicate ball_ID color
##        <int>   <int> <chr>
##  1         1     925 red  
##  2         1    2332 white
##  3         1    1272 white
##  4         1    1523 red  
##  5         1     456 white
##  6         1    1707 white
##  7         1    1837 white
##  8         1     913 white
##  9         1    1015 white
## 10         1     149 red  
## # ℹ 99,990 more rows

• “Auszählen” der roten Kugeln für jede der 1000 Ziehungen als Punktschätzung \((\hat{p})\) des Anteils roter Kugeln

virtual_prop_red_100 <- virtual_samples_100 %>%
                              group_by(replicate) %>%
                              summarize(red = sum(color == "red")) %>%
                              mutate(prop_red = red / n)
virtual_prop_red_100

## # A tibble: 1,000 × 3
##    replicate   red prop_red
##        <int> <int>    <dbl>
##  1         1    31     0.31
##  2         2    37     0.37
##  3         3    37     0.37
##  4         4    35     0.35
##  5         5    43     0.43
##  6         6    36     0.36
##  7         7    34     0.34
##  8         8    28     0.28
##  9         9    35     0.35
## 10        10    44     0.44
## # ℹ 990 more rows

• Dataviz der Stichprobenverteilung (Sampling Distribution)

virtual_prop_red_100 %>% 
  ggplot(aes(x = prop_red)) +
      geom_histogram(binwidth = 0.05, boundary = 0.4, color = "white") +
      labs(x = paste0("Anteil roter Kugeln (aus ",n,")"),
           title = paste0("Kleine Schaufel (n=",n,")")) +
      geom_vline(xintercept = red_true$Anteil_rot,color='red')

Grundproblem der induktiven Statistik

• Ergebnisse einer Stichprobe können verallgemeinert werden, wenn Aussagen für die Stichprobe auf die Grundgesamtheit übertragen werden können

• Repräsentativität der Stichprobe, wenn \(\hat{p}\) eine gute Schätzung für den wahren Anteil \(p\) ist

• Stichprobenziehung ist unverzerrt (unbiased), wenn jedes Element der Grundgesamtheit dieselbe Auswahlwahrscheinlichkeit hat

Bedeutung der Zufallsaufwahl bei der Datenerhebung (!)

• Statistische Inferenz als Schätzung einer unbekannten Größe der Grundgesamtheit auf Basis einer Stichprobe

• Entscheidende Frage: Kennen wir den wahren Wert?

Wenn der wahre Wert unbekannt ist

(Virtuelles) Ziehen einer Stichprobe

• Einmaliges Ziehen einer Stichprobe (Umfang n=50) aus der Grundgesamtheit.

set.seed(23)
n <- 50
virtual_shovel <- bowl %>% #Ziehen aus der Grundgesamtheit
                     rep_sample_n(size = n)
virtual_shovel

## # A tibble: 50 × 3
## # Groups:   replicate [1]
##    replicate ball_ID color
##        <int>   <int> <chr>
##  1         1     925 red  
##  2         1    2332 white
##  3         1    1272 white
##  4         1    1523 red  
##  5         1     456 white
##  6         1    1707 white
##  7         1    1837 white
##  8         1     913 white
##  9         1    1015 white
## 10         1     149 red  
## # ℹ 40 more rows

Anzahl und Anteil der roten Kugeln

virtual_shovel %>% 
  summarize(num_red = sum(color == "red")) %>% 
  mutate(prop_red = num_red /n)

## # A tibble: 1 × 3
##   replicate num_red prop_red
##       <int>   <int>    <dbl>
## 1         1      20      0.4

• prop_red als Punktschätzung \((\hat{p}=\) 0.4) für den wahren Anteil \(p=\) 0.375 der roten Kugeln in der Grundgesamtheit.

Punktschätzung und Erwartungstreue

• Zur Berechnung der Varianz einer Stichprobe (Stichprobenvarianz) muss eine Korrektur der Freiheitsgrade vorgenommen werden.

  • zur Erinnerung: in der deskriptiven Statistik wurde die Varianz (einer binomial verteilten (Zufalls-)Variable) wie folgt berechnet.

\[\sigma^2=\frac{p\cdot (1-p)}{n}\]

die vorhandenen Daten wurden als Daten der gesamten Population behandelt, mithin ist der zur Berechnung der Varianz erforderliche wahre Anteilswert (\(p\)) bekannt.

• Weil im Fall einer Stichprobenziehung der Anteilswert \(p\) der Population (in der Regel) nicht bekannt ist, wird er durch den Anteilswert der Stichprobe \(\hat{p}\) geschätzt. Dadurch können nur noch \((n-1)\) Werte frei variieren, der n-te Wert ist wegen \(\hat{p}=\frac{(h(\mbox{rot}))}{n}\) determiniert. Mithin muss für die Schätzung der Stichprobenvarianz eine Korrektur der Freiheitsgrade vorgenommen werden:

\[\hat{\sigma}^2=\frac{n}{n-1}\sigma^2=\frac{\hat{p}\cdot(1-\hat{p})}{n-1}\]

• Die Korrektur der Freiheitsgrade stellt die Erwartungstreue der Schätzung sicher. Die Varianz der Stichprobe wäre entsprechend nicht erwartungstreu.

Statistische Inferenz

• Weil es sich um eine Zufallsstichprobe (hier \(n=50\)) handelt (alle Kugeln hatten dieselbe Auswahlwahrscheinlichkeit), liefert sie ein unverzerrtes und repräsentatives Bild des Urnen-Inhalts.

• Jedes Ergebnis der Stichprobe (hier: mittlere Schaufel) kann auf die Grundgesamtheit (hier: die Urne) verallgemeinert werden

• Der Anteil roter Kugeln in der Stichprobe \((\hat{p})\) ist eine gute Schätzung des Anteils roter Kugeln in der Grundgesamtheit \((N=2400)\)

• Statt einer Vollerhebung bzw. dem Auszählen der Urne, können wir von der Schaufel-Stichprobe auf die Verteilung in der Urne schließen.

Stichprobenverteilung

• Einmalige Stichprobe mit \(n=50\) lieferte \(\hat{p}=\) 0.4

• Virtuelles Sampling als 1000-malig wiederholte Zufallsstichprobe mit jeweils \(n=50\) lieferte Stichprobenverteilung als mehrfach wiederholte Zufallsstichprobe

• Drei Stichprobenverteilungen:

Reliabilität und Validität

• Erinnerung: Zufallsstichprobe stellt unverzerrte (valide) Punktschätzung sicher.

Stichprobenverteilungen…

…und wahrer Wert (rote Linien)

• Obs! Geringere Streuung bei größeren Stichproben.

• Standardfehler als Standardabweichung einer Stichprobenverteilung

• Maß für die Reliabilität

Vergleich der Standardfehler

• Obs! Die Standardabweichung der Stichprobenverteilung wird als Standardfehler bezeichnet

• n =25

virtual_prop_red_25 %>%
  summarize(sd = sd(prop_red))

## # A tibble: 1 × 1
##       sd
##    <dbl>
## 1 0.0935

• n = 50

virtual_prop_red_50 %>%
  summarize(sd = sd(prop_red))

## # A tibble: 1 × 1
##       sd
##    <dbl>
## 1 0.0673

• n = 100

virtual_prop_red_100 %>%
  summarize(sd = sd(prop_red))

## # A tibble: 1 × 1
##       sd
##    <dbl>
## 1 0.0486

Zentraler Grenzwertsatz

Mit zunehmendem Stichprobenumfang nähert sich (1) die Stichprobenverteilung eines Punktschätzers (bspw. Anteil roter Kugeln) einer Normalverteilung an und nimmt (2) die Streuung dieser Stichprobenverteilungen ab ( kleinere Standardfehler).

Die Normalverteilung der Stichprobenverteilung resultiert dabei unabhängig von der Verteilung in der Grundgesamtheit - solange die für die Stichproben jeweils berechneten Mittelwerte auf unabhängigen Zufallsvariablen basieren. Die Unabhängigkeit wird dabei durch die Zufälligkeit der Stichprobenziehung sichergestellt.

Beispiele, vgl. Skript Wahrscheinlichkeitstheorie & Zufallsvariablen

Mögliche Punktschätzer

Im bisher verwendeten Beispiel ging es um den Anteil roter Kugeln, mithin um die Schätzung eines Anteilswerts. Das Konzept der Stichprobenziehung kann jedoch auch zur Schätzung anderer Parameter einer Grundgesamtheit verwendet werden:

Bootstrapping und Intervallschätzungen

Stichproben-Variation ohne Kenntnis der Grundgesamtheit

• Wie können wir die Auswirkungen von Stichproben-Variation quantifizieren, wenn wir nur über eine einzig Stichprobe verfügen?

Bootstrapping als Methode zur Untersuchung der Stichproben-Variation auf Basis einer (einzigen) Stichprobe.

Punktschätzung vs. Intervallschätzung

• Wie können wir statt eines konkreten Werts für einen unbekannten Populationsparameter einen Bereich von sehr plausiblen Werten ermitteln?

Bootstrapping als Methode zur Ermittlung von Konfidenzintervallen ohne die Notwendigkeit zur Annahme einer bestimmten Verteilung der Grundgesamtheit.

Stichprobenverteilung (Reminder)

• Ermittlung durch wiederholtes Ziehen von Stichproben aus der Grundgesamtheit (der wahren Verteilung).

• Beispiel: 1000 virtuelle Stichproben mit \(n=50\) aus der Urne.

set.seed(23)
virtual_samples <- bowl %>% # Ziehen aus der Grundgesamtheit
                      rep_sample_n(size = 50, reps = 1000)

• Stichprobenverteilung von \(\hat{p}\) berechnen

sampling_distribution <- virtual_samples %>%
                                  group_by(replicate) %>%
                                  summarize(red = sum(color == "red")) %>%
                                  mutate(prop_red = red / 50)

• Visualisierung der Stichprobenverteilung von \(\hat{p}\)

• rote Linie: wahrer Anteil \((p)\) roter Kugeln

• Standardfehler der Stichprobenverteilung

## # A tibble: 1 × 1
##       se
##    <dbl>
## 1 0.0673

Bootstrapping-Verteilung

• In den meisten Fällen liegen uns die Daten nicht vor, sodass wir meist auf eine Stichprobe zurückgreifen müssen (im Folgenden: die von Ilyas und Yohan gezogene Stichprobe)

• Bootstrapping als Methode zur Untersuchung der Stichproben-Variation basierend auf Daten einer (einzigen) Stichprobe.

Einzelne Stichprobe aus dem physischen Experiment

• Quelle: moderndive.com

• Ilyas und Yohan als eine von 33 Gruppen

bowl_sample_1

## # A tibble: 50 × 1
##    color
##    <chr>
##  1 white
##  2 white
##  3 red  
##  4 red  
##  5 white
##  6 white
##  7 red  
##  8 white
##  9 white
## 10 white
## # ℹ 40 more rows

• “Auszählen” der roten Kugeln und Berechnung des Anteilswerts roter Kugeln in der Stichprobe von Ilyas und Yohan:

stats_sample_1 <- bowl_sample_1 %>%
                  summarize(Anzahl_rot=sum(color=='red'),
                            Anteil_rot=sum(color=='red')/
                                                length(color))
stats_sample_1

## # A tibble: 1 × 2
##   Anzahl_rot Anteil_rot
##        <int>      <dbl>
## 1         21       0.42

In der Stichprobe von Ilyas und Yohan befinden sich insgesamt 21 rote Kugeln, d.h. der Anteil roter Kugeln entspricht in ihrer Stichprobe 42%.

Bootstrapping-Verteilung

• Wiederholtes Ziehen mit vs. ohne Zurücklegen? Unterschied bei der Ermittlung einer Stichprobenverteilung…
  • …bei Ziehung aus der Grundgesamtheit (Urne)
  • …bei Ziehung aus einer Stichprobe
• bei Nutzung der rep_sample_n()-Funktion wird standardmäßig ohne zurücklegen gezogen (replace=FALSE). Mehrwert/Erkenntnisgewinn durch Re-Sampling mit Zurücklegen?

set.seed(23)
bowl_sample_1 %>%  #Stichprobendaten von Ilyas und Yohan
  rep_sample_n(size = 50, reps = 1000) %>% 
    group_by(replicate) %>%
    summarize(red = sum(color == "red")) %>%
    mutate(prop_red = red / 50)

## # A tibble: 1,000 × 3
##    replicate   red prop_red
##        <int> <int>    <dbl>
##  1         1    21     0.42
##  2         2    21     0.42
##  3         3    21     0.42
##  4         4    21     0.42
##  5         5    21     0.42
##  6         6    21     0.42
##  7         7    21     0.42
##  8         8    21     0.42
##  9         9    21     0.42
## 10        10    21     0.42
## # ℹ 990 more rows

• Bootstrapping als Re-Sampling-Methode zur Ermittlung einer Stichprobenverteilung (bzw. Bootstrapping-Verteilung) durch wiederholtes Ziehen (mit zurücklegen!) von Stichproben aus den Daten (also einer einzelnen Stichprobe).

• Für das Bootstrapping muss somit in der rep_sample_n()-Funktion die Option (replace=TRUE) genutzt werden.

set.seed(23)
bowl_sample_1 %>%  #Stichprobendaten von Ilyas und Yohan
  rep_sample_n(size = 50, reps = 1000, replace=TRUE) %>%  # Ziehen mit Zurücklegen
    group_by(replicate) %>%
    summarize(red = sum(color == "red")) %>%
    mutate(prop_red = red / 50)

## # A tibble: 1,000 × 3
##    replicate   red prop_red
##        <int> <int>    <dbl>
##  1         1    20     0.4 
##  2         2    22     0.44
##  3         3    21     0.42
##  4         4    21     0.42
##  5         5    21     0.42
##  6         6    24     0.48
##  7         7    24     0.48
##  8         8    24     0.48
##  9         9    21     0.42
## 10        10    25     0.5 
## # ℹ 990 more rows

Bootstrapping mit dem infer-Paket

• Alternative zur Ermittlung einer Bootstrap-Verteilung: Funktionen aus dem infer-Paket:

  • specify()
  • generate()
  • calculate()
  • visualize()
  • weitere Funktionen lernen wir später noch kennen.

library(infer)
set.seed(23)
bootstrap_distribution <- bowl_sample_1 %>%
                              specify(response = color,
                                      success = "red") %>%
                              generate(reps = 1000,
                                       type = "bootstrap") %>%
                              calculate(stat = "prop")

• Visualisierung der Bootstrap-Verteilung

bootstrap_distribution %>%
                  visualize() +
                  labs(x = "Anteil roter Kugeln (aus 50)",
                       y= "Anzahl",
                       title = "Bootstrapping-Verteilung") +
                  geom_vline(xintercept = stats_sample_1$Anteil_rot,
                             color='red', linetype='dashed')

• Obs! gestrichelt - der Anteilswert \((\hat{p})\), den Ilyas und Yohan in ihrer Stichprobe ermittelt haben

• Standardfehler Bootstrap-Verteilung

## # A tibble: 1 × 1
##       se
##    <dbl>
## 1 0.0701

• Interpretation:

  • Die Bootstrap-Verteilung hat typischerweise ein von der Stichprobenverteilung abweichendes Zentrum. Mithin kann bootstrapping die Qualität der Schätzung (hier \(\hat{p}\)) nicht verbessern.

  • Auch wenn die Bootstrap-Verteilung nicht dasselbe Zentrum wie die Stichprobenverteilung hat, wird sie sehr wahrscheinlich eine ähnliche Form und Streuung aufweisen. Damit liefert die Bootstrapping-Methode eine gute Schätzung für den Standardfehler.

Ermittlung von Konfidenzintervallen

• Schritt 1: Festlegung eines Konfidenzniveaus (Vertrauensniveaus)
  • 90%
  • 95%
  • 99%
• Schritt 2: Wahl einer Methode
  • Traditionelle Methode auf Basis einer Verteilungsannahme
  • Bootstrapping-Methoden
    • Standardfehler-Ansatz
      
    • Perzentil-Ansatz
• Schritt 3: Statistik(en) berechnen
  • Mittelwert/Schätzwert
  • Standardfehler
• Schritt 4: ggf. Visualisierung und Interpretation

Nutzung der Funktionen im infer-Paket

Schritt 1: specify()

#bowl_sample_1 %>%        
#    specify(response = color)   # funktioniert nicht - "success" (also das "Ereignis A") muss definiert werden!

bowl_sample_1 %>%
    specify(response = color, success = "red")

## Response: color (factor)
## # A tibble: 50 × 1
##    color
##    <fct>
##  1 white
##  2 white
##  3 red  
##  4 red  
##  5 white
##  6 white
##  7 red  
##  8 white
##  9 white
## 10 white
## # ℹ 40 more rows

Schritt 2: generate()

• Replikation mittels Bootstrapping-Methode, d.h. Ziehen mit (!) Zurücklegen. Option bootstrap

• Alternativ: permute (ohne Zurücklegen)

bowl_sample_1 %>%
  specify(response = color, success = "red") %>%
  generate(reps = 1000, type = "bootstrap")

## Response: color (factor)
## # A tibble: 50,000 × 2
## # Groups:   replicate [1,000]
##    replicate color
##        <int> <fct>
##  1         1 white
##  2         1 white
##  3         1 white
##  4         1 red  
##  5         1 white
##  6         1 white
##  7         1 red  
##  8         1 red  
##  9         1 white
## 10         1 white
## # ℹ 49,990 more rows

Schritt 3: calculate()

• Statistische Kennzahl(en) für die Resamples berechnen

sample_1_bootstrap <- bowl_sample_1 %>%
                           specify(response = color,
                                   success = "red") %>%
                           generate(reps = 1000,
                                    type = "bootstrap") %>%
                           calculate(stat = "prop")
sample_1_bootstrap

## Response: color (factor)
## # A tibble: 1,000 × 2
##    replicate  stat
##        <int> <dbl>
##  1         1  0.48
##  2         2  0.48
##  3         3  0.4 
##  4         4  0.4 
##  5         5  0.42
##  6         6  0.54
##  7         7  0.5 
##  8         8  0.4 
##  9         9  0.42
## 10        10  0.48
## # ℹ 990 more rows

Schritt 4: visualize()

• Konfidenzintervall ermitteln mit get_confidence_interval()

• Optionen

  • Konfidenzniveau (level)
  • Methode
    • Perzentile (type = “percentile”)
    • Standardfehler (type = “se”)

## # A tibble: 1 × 2
##   lower_ci upper_ci
##      <dbl>    <dbl>
## 1      0.3     0.54

• Visualisierung des Konfidenzintervalls

sample_1_bootstrap %>%
        visualize(bins = 15) +
        shade_confidence_interval(endpoints = percentile_ci_1) +
        geom_vline(xintercept = 0.42, linetype = "dashed")

Interpretation Konfidenzintervall

• Gängig, aber falsch ist die folgende Interpretation (eines 95%-Konfidenzintervalls):

“Mit 95%iger Wahrscheinlichkeit enthält das Konfidenzintervall den wahren Wert \(p\).”

• Warum falsch? Jedes der Konfidenzintervalle in der untenstehenden Abbildung enthält den wahren Wert \(p\) oder nicht: Die Wahrscheinlichkeit ist entweder 1 oder 0.

• Korrekte Interpretation:

“Bei hinreichend großer Anzahl wiederholter Stichprobenziehungen, können wir erwarten, dass etwa 95 % der resultierenden Konfidenzintervalle den wahren Wert des Populationsparameters umfassen/beinhalten.”

Perzentil-Methode

• Beispiel 95%-Konfidenzintervall (Perzentil-Methode)

• Grobe gesagt stellen die Intervalle unsere “beste Schätzung” eines plausiblen Wertebereichs für den wahren Anteil roter Kugeln dar.

• Mit anderen Worten: “Wir sind zu 95 %”zuversichtlich”, dass ein 95 %-Konfidenzintervall den Wert des Populationsparameters abbildet.”

• Warum “zuversichtlich” in Anführungszeichen? Um zu betonen, dass sich 95% zwar eigentlich auf die Zuverlässigkeit unseres Verfahrens zur Konstruktion von Konfidenzintervallen bezieht, ein konstruiertes Konfidenzintervall aber letztlich unsere beste Schätzung eines Intervalls ist, das den wahren Wert der Grundgesamtheit enthält.

Standardfehler-Methode

• Weniger flexibel als der Perzentil-Ansatz, weil nur anwendbar, wenn eine Normalverteilung der Daten vorliegt.

• Zur Erinnerung: Im Fall der Normalverteilung liegen 95% der Werte 1,96 Standardabweichungen links und rechts des Mittelwerts.

• Die Standardabweichung der Stichprobenverteilung ist der Standardfehler (SE). Mithin kann das Konfidenzintervall mit Hilfe des Standardfehlers wie folgt konstruiert werden:

\[\hat{p} \pm 1.96 \cdot SE = (\hat{p} - 1.96 \cdot SE, \, \hat{p} + 1.96 \cdot SE)\] * Der Standardfehler kann dabei… * …mittels Bootstrapping ermittel werrden (s.o.) * …oder basierend auf der theoretischen Verteilung:

\[\text{SE}_{\widehat{p}} \approx \sqrt{\frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}\]

• Beispiel 80%-Konfidenzintervall (Standardfehler-Methode)

• vgl. Abschnitt 8.5.2 in moderndive